1
Dua Perspektif pada Sistem Linear
MATH004Lesson 2
00:00

Dasar aljabar linear berdiri di atas dua interpretasi yang berbeda namun secara matematis setara dari persamaan $Ax = b$. Kita beralih dari perspektif tradisional Gambaran Baris, di mana kita mencari perpotongan hiperbidang geometris, menuju perspektif yang lebih kuat Gambaran Kolom, yang memandang matriks $A$ sebagai himpunan vektor dasar yang digabungkan secara linear untuk membentuk vektor tujuan $b$.

1. Geometri Solusi

Dalam Perspektif Baris, setiap persamaan dalam sistem 3x3 merepresentasikan bidang di $\mathbb{R}^3$. Solusi $x = (2, 3, 4)$ adalah titik unik tempat ketiga bidang ini berpotongan. Secara matematis, $b$ dihitung baris demi baris menggunakan produk dalam (perkalian baris dengan kolom):

$b = [A(1, :) * x; A(2, :) * x; A(3, :) * x]$

Sebaliknya, Gambaran Kolom mengartikan $Ax = b$ sebagai permintaan kombinasi linear tertentu dari vektor-vektor kolom: $b = A(:, 1)x_1 + A(:, 2)x_2 + A(:, 3)x_3$. Di sini, matriks $A$ dipandang sebagai kumpulan arah, dan variabel $x_i$ merupakan bobot (skalar) yang ditetapkan untuk mencapai tujuan $b$. Seperti yang ditekankan dalam teori inti: Gambaran kolom: $Ax = b$ menanyakan kombinasi kolom untuk menghasilkan $b$.

Contoh Kerja 2.1 A

Pertimbangkan $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$. Menghitung $ad - bc$ memberikan $2 - 2 = 0$. Matriks ini bersifat singular. Dalam gambaran baris, garis-garis tersebut sejajar. Dalam gambaran kolom, kedua kolom terletak pada garis yang sama; kita tidak dapat mencapai $b$ yang tidak terletak pada garis tersebut.

2. A sebagai Transformasi Linear

Mengalikan vektor dengan $A$ bukan hanya sekadar perhitungan; itu adalah transformasi linear. Ini memenuhi prinsip linearitas: $Aw = cAu + dAv$ (di mana $w = cu + dv$). Ini memastikan bahwa $A$ adalah operator yang memetakan vektor dari satu ruang ke ruang lain, yang mungkin melibatkan rotasi atau proyeksi (Diagram, hal 42).

  • Aturan Dimensi: $(m \times n)(n \times p) = (m \times p)$ (Halaman 72).
  • Komponen Identitas: Vektor dasar standar $e_1 = [1,0,0]^T, e_2 = [0,1,0]^T, e_3 = [0,0,1]^T$ mendefinisikan dimensi ruang ini (Diagram, hal 80).
  • Catatan Lanjutan: Rumus Woodbury-Morrison adalah 'lemma inversi matriks' dalam teknik, digunakan untuk memperbarui invers setelah perubahan kecil pada $A$.
🎯 Prinsip Utama
$Ax = b$ diselesaikan dengan mencari seberapa banyak dari setiap vektor kolom ($x_n$) yang perlu digabungkan untuk mencapai target $b$. Jika $A$ invertibel, satu-satunya solusi adalah $x = A^{-1}b$.